13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

5.2. Función afín
(e) La altura a la que se encuentra la piedra a los 3 segundos de haber sido
soltada es
y(3) = −4.9 ⋅ 3 2 + 54 = 9.9,
es decir, se encuentra a 9.9 metros de altura.
(f) Primero busquemos t tal que y(t) = 0. Para ello resolvemos
0 = −4.9t 2 + 54 ⇔ 4.9t 2 = 54 ⇔ t 2 ≈ 11.02 ⇔ t ≈ ±3.32.
Como estamos hablando de tiempo, la solución negativa se descarta. Entonces
la piedra llega al suelo, aproximadamente, a los 3.32 segundos de
comenzar a caer, y la velocidad con la que llega (en m/s) es alrededor de
v(3.32) = −32.5.
∠
Ejemplo 173. Se lanza desde el suelo una pelota verticalmente hacia arriba con
una velocidad de 20 m/s.
(a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota luego de 2 segundos? ¿Se encontrará subiendo
o bajando? ¿A qué altura se encontrará?
(b) ¿En qué instantes la pelota estará a 15 metros de altura?
(c) ¿Cuánto tiempo demora en volver al suelo?
(d) Hallar la altura máxima alcanzada por la pelota, sabiendo que esta corresponde
al instante en el que su velocidad es cero.
(e) ¿Cuál debió haber sido la velocidad inicial para que la altura máxima de la
pelota sea 25 metros?
Solución: Comencemos dando las funciones que determinan la velocidad (en
m/s) y la altura (en metros) de la pelota en cada instante de tiempo (en segundos):
v(t) = −9.8t + 20, y(t) = −4.9t 2 + 20t.
(a) La velocidad luego de 2 segundos es v(2) = 0.4 m/s. Por ser positiva, la
pelota se encuentra subiendo, y la altura será y(2) = 20.4 metros.
(b) Para determinar en qué momentos la altura de la pelota es de 15 metros,
debemos hallar t tal que y(t) = 15, es decir, debemos resolver la ecuación
15 = −4.9t 2 + 20t.
Para ello aplicamos la resolvente, obteniendo como resultados t 1 ≈ 1 y
t 2 ≈ 3.1, que corresponden a los momentos en que la pelota se encuentra
subiendo y bajando, respectivamente. En ambos instantes alcanza 15 metros
de altura.
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