13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

6.1. Razones trigonométricas
Solución:
x
10 m
65 ○
Con respecto al ángulo dado como dato, la
incógnita x es la medida del cateto opuesto.
Además, se tiene como dato la longitud de la hipotenusa.
La razón trigonométrica que involucra a
estos tres valores es el seno:
sen(65 ○ ) = CO
H = x 10 , entonces x = 10 ⋅ sen(65○ ) ≈ 9.
Respuesta: La altura aproximada del poste es de 9 metros.
∠
Ejemplo 237. En el problema anterior, ¿a qué distancia del pie del poste se
encuentra apoyada la base de la escalera?
Solución: En este caso, con respecto al ángulo dado como dato, la incógnita es
la medida del cateto adyancente, CA. Además, se conoce la longitud de la hipotenusa.
La razón trigonométrica que involucra a estos tres valores es el coseno:
cos(65 ○ ) = CA
H
= CA
10 , entonces CA = 10 ⋅ cos(65○ ) ≈ 4.23.
Respuesta: La base de la escalera se encuentra apoyada a 4.23 metros del pie del
poste.
∠
Ejemplo 238. Un problema de sombras. Dada la lejanía y el tamaño del Sol,
se puede pensar que, en regiones pequeñas de la Tierra, todos los rayos de luz
llegan a ella como rectas paralelas entre sí. Entonces, en cada momento fijo del
día, el ángulo que los mismos forman con respecto al suelo no cambia entre
objetos cercanos. Este ángulo es el que determina la longitud de la sombra de
un objeto: al amanecer y al anochecer el ángulo es muy agudo, dando sombras
muy largas. Al mediodía, el ángulo es recto y prácticamente no hay sombra. Nos
referiremos a este como “el ángulo que forman los rayos solares con el suelo”, el
cual se ilustra en la Figura 6.1. Como una aplicación de trigonometría, sabiendo
el ángulo que forman los rayos solares en un momento y lugar determinados,
podemos usar el largo de la sombra de un objeto para determinar su altura.
Por ejemplo, supongamos que la sombra de un ciprés mide 17 metros cuando
los rayos solares forman un ángulo de 50 ○ con el suelo. Con estos datos podemos
calcular la altura del ciprés de la siguiente forma: graficando un triángulo como
en los dibujos anteriores, lo que conocemos es α = 50 ○ , y que el cateto adyacente
mide 17 metros. La altura del ciprés es la longitud del cateto opuesto. La razón
trigonométrica que relaciona a estos tres valores es la tangente:
tg(50 ○ ) = CO
CA = x 17 , entonces x = 17 ⋅ tg(50○ ) ≈ 20.26.
Luego, el ciprés mide aproximadamente 20.26 metros.
∠
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