13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 3. Polinomios y expresiones racionales
Los dos trinomios presentados en el ejemplo anterior muestran que se debe
observar el signo del término de la forma 2ab para determinar si se factoriza
como (a + b) 2 , o como (a − b) 2 . En este último caso, ya que z 2 = (−z) 2 para
cualquier número real z, se tiene que (a − b) 2 = (−a + b) 2 , por lo que cualquiera
de las dos factorizaciones es correcta.
En el siguiente ejemplo se incluye una forma más “visual” de identificar
trinomios cuadrados perfectos. El mismo muestra además que el trinomio no
debe ser necesariamente un polinomio de grado 2 y con coeficiente principal
igual a 1.
Ejemplo 65. Más trinomios cuadrados perfectos. Factorizar los siguientes
trinomios
p(x) = x 6 + 8x 3 + 16, q(x) = 9x 4 − 30x 2 + 25.
Solución: Para el caso de p, los dos cuadrados que vemos son x 6 que es el cuadrado
de x 3 , y 16 que es el cuadrado de 4. El doble producto de estas cantidades
es 2 ⋅ 4 ⋅ x 3 = 8x 3 , que coincide con el término restante. Por lo tanto
p(x) = (x 3 + 4) 2 .
Hagamos el mismo razonamiento para q pero en forma gráfica que suele ayudar:
9x 4 − 30x 2 + 25
3x 2 5
2 ⋅ 3x 2 ⋅ 5 = 30x 2
Doble producto de las raíces halladas.
En el gráfico anterior, debajo de las flechas verticales, identificamos las dos cantidades
cuyos cuadrados son los términos del trinomio, y luego hicimos el doble
producto de estas cantidades para comparar con el término restante. Finalmente,
prestamos atención al signo de este término para concluir que
q(x) = (3x 2 − 5) 2 .
∠
Cuatrinomio cubo perfecto. Si el polinomio que queremos factorizar es
de la forma
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ,
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