13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 6. Resolución de triángulos rectángulos
Ejemplo 229. Calculando razones trigonométricas. Consideremos el siguiente
triángulo rectángulo:
9
β
15
12
α
Entonces, en este caso tenemos que
sen(α) = 9
15 = 3 12
, cos(α) =
5 15 = 4 5 , tg(α) = 9
12 = 3 4 ;
sen(β) = 12
15 = 4 5 , cos(β) = 9 15 = 3 12
, tg(β) =
5 9 = 4 3 . ∠
De las definiciones de las razones trigonométricas se puede concluir que, si
α y β son los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, entonces
sen(α) = cos(β) y tg(α) = cotg(β),
ya que el cateto opuesto respecto de uno de ellos corresponde al cateto adyacente
respecto del otro. Esto puede observarse en los resultados obtenidos en el
ejemplo anterior.
Como consecuencia del teorema de Pitágoras, si α es uno de los ángulos
agudos de un triángulo rectángulo, entonces
sen 2 (α) + cos 2 (α) = ( CO H ) 2
+ ( CA
H ) 2
= H2
H 2 = 1,
donde CO, CA y H denotan las longitudes del cateto opuesto, del cateto adyacente
y de la hipotenusa, respectivamente. Es decir,
sen 2 (α) + cos 2 (α) = 1.
Esta es una de las identidades trigonométricas más conocidas * , y permite obtener
cada una de las razones involucradas a partir de la otra, sin necesidad de conocer
el valor de α:
sen(α) = √ 1 − cos 2 (α), cos(α) = √ 1 − sen 2 (α). (6.1.1)
*La definición de cada razón trigonométrica presentada puede extenderse a todos los números
reales, surgiendo así lo que se conoce como funciones trigonométricas. Esta identidad trigonométrica
vale para cualquier valor de α real.
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