13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
o equivalentemente, x 1 y x 2 son raíces de p (esto significa que estamos en el
caso ∆ ≥ 0). Luego, tanto (x − x 1 ) como (x − x 2 ) son factores de p. Más
precisamente, se tiene que p se factoriza como:
p(x) = a(x − x 1 )(x − x 2 ).
Ejemplo 114. Factorizando un polinomio cuadrático. Utilizar la resolvente
para factorizar los polinomios
p(x) = x 2 + x − 6 y q(x) = 2x 2 − 20 − 6x.
Una vez obtenida la factorización, verificar que es correcta resolviendo el producto
para recuperar los polinomios dados.
Solución: Comencemos aplicando la resolvente para hallar las soluciones de
p(x) = 0:
x 1,2 = −1 ± √ 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6)
2 ⋅ 1
= −1 ± 5 ,
2
de lo que se infiere x 1 = 2 y x 2 = −3. Entonces, podemos factorizar p como
p(x) = (x − 2)(x + 3).
Para verificar, hacemos la distributiva y operamos:
(x − 2)(x + 3) = x 2 + 3x − 2x − 6 = x 2 + x − 6 = p(x). "
Con respecto a q, tenemos
x 1,2 = 6 ± √ (−6) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−20)
2 ⋅ 2
= 6 ± 14 ,
4
lo que implica x 1 = 5 y x 2 = −2. Por lo tanto q se factoriza como
Realicemos la verificación:
q(x) = 2(x − 5)(x + 2).
2(x−5)(x+2) = 2(x 2 +2x−5x−10) = 2(x 2 −3x−10) = 2x 2 −6x−20 = q(x), "
por lo que la factorización obtenida es correcta.
∠
Un error frecuente es olvidar el número a en la factorización anterior, y
escribir
q(x) = (x − 5)(x + 2). %
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