13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 5. Funciones
siendo a y b números reales. La primera indica la región de puntos del plano que
están debajo de la recta y = ax+b, y la segunda representa a los que se encuentran
arriba de dicha recta. En estos dos casos el resultado es un semiplano abierto,
pues no contiene los puntos de la recta frontera. De manera similar, los puntos
que satisfacen la tercera inecuación son los que pertenecen a la recta y los que
están debajo de ella, mientras que la solución de la última son los puntos que
pertenecen a la recta y los que están por encima de ella. En estos casos la región
resultante recibe el nombre de semiplano cerrado, porque contiene los puntos
de la recta frontera. Resumimos esto en la siguiente tabla:
y < ax + b y > ax + b y ≤ ax + b y ≥ ax + b
debajo e encima e
Región respecto de la debajo encima
incluida incluida
recta y = ax + b
Semiplano abierto abierto cerrado cerrado
En Ge Gebra estas regiones se grafican fácilmente, escribiendo en el campo
de entradas la inecuación lineal correspondiente.
En esta sección nos ocuparemos de hallar gráficamente las soluciones de un
sistema de dos o más inecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo:
{ a 1x + b 1 y ≤ c 1 ,
a 2 x + b 2 y ≤ c 2 ,
donde a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 y c 2 son números reales, y las incógnitas son x e y. Las
desigualdades en el sistema pueden ser estrictas.
Al igual que antes, la llave indica que todas las inecuaciones deben cumplirse
a la vez. Luego, un punto (x, y) será solución del sistema si satisface todas las
desigualdades que lo componen. Para ello, deberá pertenecer simultáneamente a
todas las áreas sombreadas, es decir, a la intersección de todas ellas (que puede
resultar vacía).
Resolveremos los sistemas de inecuaciones solamente de manera gráfica.
Para ello, el primer paso consiste en llevar todas las funciones afines involucradas
a su forma usual, para identificar su pendiente y ordenada al origen y trazar
la recta correspondiente, y luego sombrear las regiones correspondientes (luego
veremos cómo se procede cuando las rectas son verticales y no provienen de
una función afín). Ilustramos el procedimiento resolviendo los sistemas dados a
continuación.
Ejemplo 182. Resolviendo sistemas de inecuaciones lineales. Resolver gráficamente
los siguientes sistemas de inecuaciones
S 1 ∶ { x + y ≥ 3
2x − y < 5,
S 2 ∶ {
5x + 2y > 6
y − 2x < 4,
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