13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Entonces solamente resta ver cómo resolver ecuaciones de segundo grado en
las que el polinomio involucrado es completo, es decir, con todos los coeficientes
distintos de cero:
ax 2 + bx + c = 0,
con a, b y c no nulos. Para resolverla, usaremos una técnica que se conoce como
completar cuadrados, que consiste en sumar y restar una cantidad adecuada,
de manera de hacer aparecer un trinomio cuadrado perfecto. Al sumar y restar
una misma cantidad en uno de los miembros, no estamos alterando la ecuación,
pues lo que agregamos en total es cero.
Recordemos que un trinomio cuadrado perfecto (abreviado t.c.p.) es un
polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio (ver
página 65). En particular, consideremos el que se obtiene de elevar al cuadrado
el binomio x + r, para algún r real:
(x + r) 2 = x 2 + 2rx + r 2 .
Queremos sumar (y luego restar) una cantidad adecuada, para que aparezca
en la ecuación original algo que tenga la “forma” del trinomio anterior. Esta
forma puede describirse como sigue: el término independiente (r 2 ) es el cuadrado
de la mitad del coeficiente lineal (2r), mientras que el coeficiente cuadrático
es 1. Antes de hacerlo en forma general, veamos un ejemplo para aclarar esta
frase.
Ejemplo 106. Completando cuadrados. Consideremos la ecuación
x 2 − 6x + 5 = 0.
En este caso el coeficiente lineal es −6, su mitad es −3, y (−3) 2 = 9, que no coincide
con el término independiente que es 5. El truco consiste en hacer aparecer
dicho 9, pero, para no afectar el resultado de la ecuación, así como lo sumamos
también lo restamos:
x 2 − 6x + 5 = x 2 − 6x+9 −9 + 5 = (x − 3) 2 − 4.
t.c.p.
Entonces la ecuación se transforma en
(x − 3) 2 − 4 = 0 ⇐⇒ (x − 3) 2 = 4 ⇐⇒ x − 3 = ±2,
lo que produce las opciones x 1 = 2 + 3 = 5 y x 2 = −2 + 3 = 1 (se utiliza la
notación x 1 y x 2 para indicar dos valores diferentes para las soluciones). Es
decir, el conjunto solución es S = {5, 1}. Puede verse fácilmente que estos dos
valores satisfacen la ecuación original:
5 2 − 6 ⋅ 5 + 5 = 25 − 30 + 5 = 0 y 1 2 − 6 ⋅ 1 + 5 = 1 − 6 + 5 = 0. " ∠
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