13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

5.5. Función cuadrática
x y = 2x 2 − 12x + 14
−2 2 ⋅ (−2) 2 − 12 ⋅ (−2) + 14 = 46
−1 2 ⋅ (−1) 2 − 12 ⋅ (−1) + 14 = 28
0 2 ⋅ 0 2 − 12 ⋅ 0 + 14 = 14
1 2 ⋅ 1 2 − 12 ⋅ 1 + 14 = 4
2 2 ⋅ 2 2 − 12 ⋅ 2 + 14 = −2
3 2 ⋅ 3 2 − 12 ⋅ 3 + 14 = −4
4 2 ⋅ 4 2 − 12 ⋅ 4 + 14 = −2
5 2 ⋅ 5 2 − 12 ⋅ 5 + 14 = 4
Ubicaremos ahora estos puntos en un sistema de ejes coordenados, y los uniremos
con línea punteada:
30
y
25
20
Eje de simetría
15
10
5
-1 1 3 5
−5
Vértice
x
Como podemos observar, el vértice de la parábola es el punto (3, −4), y el eje
de simetría es la recta de ecuación x = 3. Nos preguntamos si es posible obtener
esta información desde la expresión de la función, sin tener que graficarla. La
respuesta se obtiene completando cuadrados, como aprendimos a hacerlo en el
Capítulo 4 (ver pág. 118):
y = 2x 2 − 12x + 14 = 2(x 2 − 6x + 7)
= 2(x 2 − 6x+9 − 9 + 7) = 2(x 2 − 6x + 9) − 4
= 2(x − 3) 2 + (−4).
Podemos observar que en la fórmula anterior aparecen las coordenadas del vértice
(la abscisa precedida por un signo menos). Las ramas de la parábola abren
hacia arriba, pues a = 2 > 0.
∠
Veamos otro ejemplo para observar si ocurre lo mismo:
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