13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

4.5. Inecuaciones
Ejemplo 124. Una empresa textil fabricó 1500 remeras con un costo de producción
de $30 por unidad. Si se venden todas las remeras, se obtiene una ganancia
que supera los $60000. ¿A qué precio se vende al menos cada unidad?
Solución: Llamemos x al precio de venta (en pesos) de cada unidad. Por cada
unidad vendida, la ganancia es igual a x−30. El enunciado afirma que la ganancia
de vender todas las remeras (es decir, 1500(x−30)) supera los 60000 pesos. Esto
se expresa simbólicamente y se resuelve como:
1500(x − 30) > 60000
(o.2)
⇐⇒ x − 30 > 60000
1500
(o.1)
⇐⇒ x > 40 + 30 = 70.
Luego, la solución es el conjunto S = {x ∈ R ∶ x > 70} = (70, ∞). Esto significa
que cada remera se vende a más de $70.
∠
Como se ve en los ejemplos anteriores, el proceso para resolver una
inecuación consiste en ir transformando la inecuación inicial en otras equivalentes
más simples, hasta que el resultado final sea de uno (o varios) de los
siguientes tipos:
x < c, x ≤ c, x ≥ c, x > c,
donde x denota la incógnita. Si se llega a más de una de estas inecuaciones,
según el caso estas pueden estar conectadas con un “o”, por lo que deberán
unirse los correspondientes conjuntos solución, o con un “y”, donde habrá que
tomar la intersección de dichos conjuntos. Si el resultado final es contradictorio,
entonces la inecuación no tiene soluciones. Ilustramos estos casos en los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 125. Inecuaciones conectadas con “o”. Resolver (x + 3) 2 ≥ 16.
Solución:
(x + 3) 2 ≥ 16
(o.5)
⇐⇒ √ (x + 3) 2 ≥ √ 16 ⇐⇒ ∣x + 3∣ ≥ 4.
Por la propiedad (g) del valor absoluto (ver página 49), la última desigualdad
ocurre si y solo si
x + 3 ≥ 4 o x + 3 ≤ −4,
es decir
x ≥ 1 o x ≤ −7.
El conjunto solución de la primera desigualdad es S 1 = [1, ∞), y el de la segunda
es S 2 = (−∞, −7]. Puesto que las desigualdades están conectadas con un “o”,
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