13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

4.4. Sistemas de ecuaciones lineales
Solución: Si despejamos x en la primera ecuación nos queda
x = 1 + 3y . (◇)
2
Ahora sustituimos esta expresión donde aparece x en la segunda ecuación:
−4 ( 1 + 3y ) + 6y = −2.
2
Para resolver lo anterior, aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos
−2 − 6y + 6y = −2,
lo que equivale a −2 = −2. Puesto que esta igualdad es siempre cierta, independientemente
del valor de y, cualquier número real es solución de ella. Para un
valor fijo de y se obtiene el correspondiente valor de x que hace verdaderas las
dos ecuaciones mediante (◇). Para aclarar esto, realicemos la verificación: sea y
un número real cualquiera, y sea
x = 1 + 3y .
2
Veamos que estos valores satisfacen ambas ecuaciones del sistema dado:
2x − 3y = 2 ( 1 + 3y ) −3y = 1 + 3y − 3y = 1, "
2
x
−4x + 6y = −4 ( 1 + 3y ) +6y = −2 − 6y + 6y = −2. "
2
x
Así, para cada número real y dado se obtiene un correspondiente valor de x, de
manera que ambas igualdades se cumplen. Por ejemplo, cuando y = 1 el valor de
x es 1+3⋅1 = 2, o cuando y = 0 entonces x = 1+3⋅0 = 1 . Luego la ecuación tiene
2 2 2
infinitas soluciones, por lo que el sistema es compatible indeterminado.
∠
Ejemplo 118. Resolviendo por sustitución: sin solución. Resolver mediante
sustitución el siguiente sistema, y luego clasificarlo:
{
x + y = 3
2x + 2y = 2.
Solución: Si despejamos y en la primera ecuación nos queda
y = 3 − x.
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