13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 3. Polinomios y expresiones racionales
Los valores prohibidos para las operaciones con fracciones algebraicas son
aquellos que anulan el denominador de alguna de las fracciones involucradas.
Entonces las restricciones para la suma anterior son x ≠ ±2 y x ≠ ±3. Notar
que si observamos las restricciones solamente en el resultado final, perdemos
aquellas que anulaban a alguno de los denominadores pero fueron “canceladas”
durante el proceso de simplificación. Esos valores se indican en color rojo en
el procedimiento anterior, para recordar que deben incluirse en los valores no
permitidos.
De forma similar procedemos para efectuar la resta:
x
x 2 + x − 2 − x
x 2 − 1 =
x
x(x + 1) −
2 − x
(x − 1)(x + 1)
1
=
(x + 1) − 2 − x
(x − 1)(x + 1)
(x − 1) − (2 − x)
=
(x − 1)(x + 1)
2x − 3
=
(x − 1)(x + 1)
se factorizó
Las restricciones para esta resta son entonces x ≠ ±1 y x ≠ 0.
se canceló x ≠ 0
se restaron las fracciones
se operó en el numerador.
∠
Ejemplo 80. Producto y cociente de expresiones racionales. Resolver:
x − 3
◾
x 2 + 6x + 9 ⋅ x2 + 3x
x 2 − 9 ,
2
◾
x + 5 ∶ 1
x 2 − 25 .
Solución:
◾
◾
x − 3
x 2 + 6x + 9 ⋅ x2 + 3x
x 2 − 9 = x − 3
(x + 3) ⋅ x(x + 3)
2 (x − 3)(x + 3)
(x − 3)x(x + 3)
=
(x − 3)(x + 3) = x
3 (x + 3) . 2
2
x + 5 ∶ 1
x 2 − 25 = 2
x + 5 ⋅ (x2 − 25)
2
=
✘(x ✘ + 5) ✘ ⋅ ✘(x ✘ + 5) ✘ ⋅ (x − 5) = 2(x − 5).
Para que ambas fracciones en el producto anterior estén definidas se necesita
x ≠ ±3. Para el cociente, la restricción es x ≠ ±5 (aunque al resolver la división
el denominador x 2 − 25 se transforme en numerador, la fracción involucrada en
el enunciado debe estar bien definida).
∠
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