13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 2. Conjuntos numéricos
Con esto la consigna ya estaría cumplida * , pero vamos a analizar un poco lo
obtenido antes de pasar al modo incorrecto de resolverla. Lo anterior nos dice
que si queremos conocer ∣2x−5∣ para un valor particular de x, debemos chequear
si 2x − 5 es positivo o cero (y en tal caso evaluar en el primer renglón de la llave
anterior), o si es negativo (y evaluar en el segundo). Por ejemplo, para x = 1
tenemos que 2x − 5 = 2 ⋅ 1 − 5 = −3 < 0, por lo que para conocer el valor de
∣2x − 5∣ debemos reemplazar en el segundo renglón de la llave anterior, para
obtener ∣2x − 5∣ = −2 ⋅ 1 + 5 = 3. Es claro que esto también se podía obtener para
x = 1 haciendo directamente el reemplazo
∣2x − 5∣ = ∣2 ⋅ 1 − 5∣ = ∣ − 3∣ = 3,
pero saber trabajar en forma general resultará fundamental más adelante.
La forma incorrecta (pero frecuente) de resolverlo es la siguiente:
∣2x − 5∣ = {
2x − 5, si x ≥ 0;
−2x + 5, si x < 0.
El “punto de corte” no es siempre x = 0 sino donde todo lo que está “dentro”
del valor absoluto pasa de positivo a negativo. En este caso, lo que está “dentro”
no es x, sino 2x − 5. Notar que según esta fórmula errónea, para conocer el
valor de ∣2x − 5∣ en x = 1, deberíamos evaluar en el primer renglón de dicha
fórmula, ya que en este caso x = 1 es positivo. De esta forma, obtendríamos que
∣2x − 5∣ = 2.1 − 5 = −3, lo cual es claramente incorrecto pues es negativo, y el
valor absoluto de todo número es siempre mayor o igual que cero. ∠
Ejemplo 42. Reescribir 5∣7 − 3x∣ + 2 utilizando la definición de valor absoluto.
Además, hallar el valor de esta expresión para x = −1 y x = 3.
Solución: Aplicando dicha definición (solamente donde aparece el valor absoluto),
tenemos que
5∣7 − 3x∣ + 2 = {
Resolviendo en lo anterior obtenemos
5∣7 − 3x∣ + 2 = {
5(7 − 3x) + 2, si 7 − 3x ≥ 0;
5(−7 + 3x) + 2, si 7 − 3x < 0.
37 − 15x, si 7 − 3x ≥ 0;
15x − 33, si 7 − 3x < 0.
Hallaremos ahora el resultado de la expresión para los valores particulares de x
dados, reemplazando directamente en ella. Si x = −1, entonces
5∣7 − 3x∣ + 2 = 5∣7 − 3 ⋅ (−1)∣ + 2 = 5∣7 + 3∣ + 2 = 5 ⋅ ∣10∣ + 2 = 5 ⋅ 10 + 2 = 52,
*Aunque las propiedades de monotonía de las operaciones presentadas en la Sección 2.3.3 nos
permitan ya escribir x ≥ 5 en lugar de 2x − 5 ≥ 0, se opta aquí por posponer la resolución de
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inecuaciones, incluso de las más simples, hasta la Sección 4.5.
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