13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 2. Conjuntos numéricos
una distancia menor o igual que a), y cuáles se encuentran “lejos” de él (por
encontrarse a una distancia mayor que a). Gráficamente, si a es un número positivo,
entonces ∣x∣ ≤ a indica todos aquellos valores que se encuentren a una
distancia menor o igual que a del cero, ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda.
Esto se representa como el intervalo [−a, a], ilustrado en la Figura 2.1.
Análogamente, ∣x∣ < a si y solo si −a < x < a, lo cual termina de ilustrar la
propiedad (f).
−a 0 a
Figura 2.1: ∣x∣ ≤ a si y solo si −a ≤ x ≤ a.
En cambio, ∣x∣ ≥ a indica todos aquellos valores que se encuentren a una distancia
del cero mayor o igual que a, ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda.
Esto se representa como la unión de los dos intervalos (−∞, a] y [a, ∞) que
se ilustran en la Figura 2.2. De la misma forma, si la desigualdad es estricta tenemos
que ∣x∣ > a si y solo si x > a o x < −a, lo cual termina de ilustrar la
propiedad (g).
−a 0 a
Figura 2.2: ∣x∣ ≥ a si y solo si x ≥ a o x ≤ −a.
Notar que si en (f) tomamos a negativo y buscamos los valores de x tales que
∣x∣ ≤ a, la respuesta sería el conjunto vacío, ya que el valor absoluto nunca puede
ser negativo. De la misma forma, si a es negativo en (g), entonces la solución a
∣x∣ ≥ a son todos los números reales, ya que el valor absoluto es siempre positivo
o cero.
En el Capítulo 4 retomaremos el concepto de valor absoluto resolviendo
ecuaciones e inecuaciones que lo involucren. Allí, comprender su definición y
propiedades será una herramienta imprescindible.
Ejemplo 43. Aplicando las propiedades del valor absoluto. Reescribir las
siguientes desigualdades utilizando las propiedades (f) y (g) para eliminar el
valor absoluto según corresponda:
(i) ∣x∣ < 3
(ii) ∣2 − b∣ ≥ 4
(iii) ∣5y∣ > 10
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