13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 3. Polinomios y expresiones racionales
Ejemplo 61. Factores de un polinomio. Como vimos en el primer caso del
Ejemplo 60, aplicando la regla de Ruffini obtuvimos que
x 3 + x 2 − x − 1 = (x 2 + 2x + 1)(x − 1).
Entonces decimos que x 3 +x 2 −x−1 es divisible por (x 2 +2x+1) y por (x−1),
o que es múltiplo de cada uno de ellos. También decimos que (x 2 + 2x + 1) y
(x − 1) son factores de x 3 + x 2 − x − 1, o que son divisores de él. ∠
Factorizar un polinomio significa escribirlo como producto de otros polinomios,
como en el ejemplo anterior. Este es el objetivo de esta sección, y resultará
una herramienta fundamental para resolver ecuaciones polinómicas.
Comencemos con casos ya conocidos, que son los estudiados en la sección
anterior.
Diferencia de cuadrados. Este es uno de los casos más simples de identificar,
ya que, como su nombre lo indica, es una diferencia (es decir, una resta)
de dos cantidades al cuadrado. Esto es, nos encontramos con una expresión de
la forma
a 2 − b 2 ,
y queremos factorizarla. En la sección anterior vimos que este es el aspecto del
producto
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b),
obteniendo así una factorización del binomio dado.
Ejemplo 62. Reconociendo una diferencia de cuadrados. Como se dijo antes,
es sencillo reconocer este caso: solamente hay que extraer las raíces de las dos
cantidades involucradas en la resta:
x 2 − 16.
x 4
Entonces factorizamos x 2 − 16 = (x + 4)(x − 4).
∠
Notar que el término que aparece sumando en un factor y restando en el otro,
es la cantidad cuyo cuadrado estaba restando en el binomio dado. El otro término
siempre tiene un signo + delante.
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