13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 3. Polinomios y expresiones racionales
1 0 0 0 0 − 32
2 2 4 8 16 32
1 2 4 8 16 0
Entonces
x 5 − 2 5 = (x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16)(x − 2).
Resumiendo, si n es impar entonces
x n + r n es divisible por x + r,
x n − r n es divisible por x − r.
Más aún, puede demostrarse que −r es la única raíz real de x n +r n , mientras que
r es la única raíz real de x n −r n . Entonces, el polinomio se encuentra totalmente
factorizado una vez efectuada la división por los respectivos factores.
Si n es par entonces x n + r n no tiene raíces reales, mientras que x n − r n es
una diferencia de cuadrados, y sus únicas raíces reales son r y −r. ∠
Finalizamos la sección enfatizando algo que ya se ha mencionado pero es de
gran importancia:
¿Cómo saber si una factorización es correcta? Siempre es posible verificar
si la factorización es correcta multiplicando los factores obtenidos y operando,
para comprobar que se llega de esta forma al polinomio de partida. No debemos
olvidar que al factorizar un polinomio se obtiene una expresión con distinta
forma (multiplicación de polinomios), pero equivalente a la original.
Ejercicios 3.3
1. Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados:
(a) 4x 2 − 49
(b) t 8 − 6
(c) 25x 6 − 9
(d) 36x 2 − 25
2. Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:
(a) x 2 − 8x + 16
(b) 9x 2 − 12x + 4
(c) 4x 4 + 12x 2 + 9
(d) t 4 − 6t 3 + 9t 2
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