13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

3.3. Factorización de polinomios
Ejemplo 63. Otra diferencia de cuadrados. Factoricemos ahora 9t 8 − 5:
9t 8 − 5.
3t 4 √
5
Entonces 9t 8 − 5 = (3t 4 + √ 5) (3t 4 − √ 5).
∠
Trinomio cuadrado perfecto. Si el polinomio que queremos factorizar
es de la forma
a 2 + 2ab + b 2 ,
entonces es lo que llamamos en la sección anterior un trinomio cuadrado perfecto.
Sabemos que este tipo de trinomios provienen de hacer (a + b) 2 . Es decir, en
este caso se tiene
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ,
lo cual es una factorización del polinomio dado, pues (a + b) 2 = (a + b)(a + b).
Los factores repetidos se expresan en forma de potencia simplemente para agilizar
la escritura.
Ejemplo 64. Reconociendo un trinomio cuadrado perfecto. Con la práctica,
reconocer este tipo de trinomios no es difícil. Esencialmente, la idea es reconocer
en el trinomio dos términos que sean el cuadrado de ciertas cantidades,
y verificar si el término restante es el doble producto de dichas cantidades. Por
ejemplo, considerar el trinomio
x 2 + 6x + 9.
Observando el polinomio, identificamos dos términos que son el cuadrado de
dos cantidades: x y 3 (cuyos cuadrados son x 2 y 9). Además, si hacemos el
doble producto de estas cantidades obtenemos 2 ⋅ 3 ⋅ x = 6x, que coincide con el
término restante. Entonces es un trinomio cuadrado perfecto, el cual se factoriza
como
x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 .
Miremos ahora el trinomio
x 2 − 10x + 25.
Aquí los cuadrados que identificamos son x 2 y 25, provenientes de x y 5. Sin
embargo, el doble producto de ellos es 10x, y en el trinomio aparece con signo
opuesto. Para lograr −10x, tomamos una de las dos cantidades negativa, por
ejemplo, −5 (y se sigue cumpliendo que (−5) 2 = 25). Entonces
x 2 − 10x + 25 = (x − 5) 2 .
∠
75