13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 3. Polinomios y expresiones racionales
Factor común. Así como los casos anteriores provinieron de leer una
igualdad ya conocida desde el lado adecuado, lo mismo ocurre con el método de
extraer factores comunes en un polinomio. Este método consiste en determinar
si el polinomio dado es el resultado de haber aplicado la propiedad distributiva
del producto respecto de la suma o la resta. Por ejemplo, esta propiedad nos dice
que
3x 2 (x + 2) = 3x 3 + 6x 2 .
Extraer factor común es exactamente el proceso inverso: nos dan el polinomio
3x 3 + 6x 2 y debemos identificar qué factores aparecen en todos sus términos.
En este caso vemos que el 3 aparece como factor en ambos términos (ya
que 6 = 2 ⋅ 3), y también x 2 (ya que x 3 = x 2 ⋅ x). Los factores comunes a todos
los términos los extraemos, y lo multiplicamos por el polinomio que resulta de
“quitarle” dichos factores al original (esto significa dividir cada término por lo
que sacamos como factor común):
3x 3 + 6x 2 = 3x 2 (x + 2).
Como siempre es posible verificar si lo hemos hecho bien, aplicando la
propiedad distributiva del lado derecho de la igualdad para ver si recuperamos
el polinomio del lado izquierdo.
De esta forma hemos factorizado el polinomio dado. Recordemos que factorizar
un polinomio significa escribirlo como producto de otros polinomios, por lo
que x se extrae como factor común con el menor exponente al que aparece, para
evitar exponentes negativos. Por ejemplo, si en el ejemplo anterior hubiéramos
tomado como factor común a 3x 3 , nos queda
3x 3 + 6x 2 = 3x 3 (1 + 2x −1 ),
y, aunque la igualdad es cierta para todo x ≠ 0 (hacer la distributiva del lado
izquierdo para verificarlo), lo que queda entre paréntesis no es un polinomio.
Ejemplo 67. Extrayendo factores comunes.
x 4 − 4x 3 + x 2 = x 2 (x 2 − 4x + 1).
10x 2 + 25x + 15 = 5(2x 2 + 5x + 3).
9t 3 − 6t 2 + 12t 8 − 18t 9 = 3t 2 (3t − 2 + 4t 6 − 6t 7 ).
3x(x+1)+5(x+1) = (x+1)(3x+5). Aquí el factor común es el binomio
(x + 1) que está en ambos términos.
x 3 − 4x = x(x 2 − 4) = x(x − 2)(x + 2). Sacar factor común nos permitió
obtener una diferencia de cuadrados y seguir factorizando.
x 3 − 12x 2 + 36x = x(x 2 − 12x + 36) = x(x − 6) 2 . Sacar factor común nos
permitió obtener un trinomio cuadrado perfecto y seguir factorizando. ∠
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