13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 5. Funciones
140
Población de peces (en miles)
128
120
110
100
80
60
40
20
−4 −2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
○ C
Figura 5.6: Población de peces en función de la temperatura del agua.
(c) Debemos resolver la inecuación p(x) ≥ 120:
−2x 2 + 40x − 72 ≥ 120 ⇔ −2x 2 + 40x − 192 ≥ 0.
Aplicando la resolvente para factorizar el polinomio que aparece en la última
desigualdad, obtenemos:
−2(x − 8)(x − 12) ≥ 0.
Haremos una tabla de signos para resolver esta inecuación, que es equivalente a
la pregunta planteada:
Intervalo
Factor
(−∞, 8) (8, 12) (12, ∞)
x − 8 − + +
x − 12 − − +
−2 − − −
−2(x − 8)(x − 12) − + −
Esto significa que la población es de al menos 120000 peces cuanto la temperatura
pertenece al intervalo [8, 12]. Se agregó la recta y = 120 en el gráfico para
comprobar este resultado.
La tabla de signos es la forma analítica de resolverlo. Para hacerlo gráficamente
podríamos haber trazado la parábola y = −2x 2 + 40x − 192, marcar sus
raíces x = 8 y x = 12, y ver para qué valores queda por encima del eje x.
(d) La cantidad de peces (en miles) cuando la temperatura del agua es igual a 7
grados Celsius es
p(7) = −2 ⋅ 7 2 + 40 ⋅ 7 − 72 = 110.
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