13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 5. Funciones
Supongamos que un paciente ingiere una dosis inicial de yodo que emite 80
milicurios (mCi), que se concentra en su glándula tiroides. Entonces, la emisión
de yodo que produce el paciente al cabo de t días está dada por:
N(t) = 80e −0.087t .
¿Cuántos días habrá que esperar para que las emisiones se reduzcan a la quinta
parte de la inicial?
Solución: Buscamos t que satisfaga que N(t) = 80/5 = 16, es decir, debemos
resolver
16 = 80e −0.087t ⇔ 1 5 = e−0.087t ⇔ ln ( 1 5 ) = −0.087t,
de lo que se obtiene t ≈ 18.5. Esto significa que se necesitan 18 días y medio,
aproximadamente, para que las emisiones se reduzcan a la cantidad deseada. ∠
Ejemplo 214. La edad de restos fósiles. La datación por Carbono 14 (cuyo
símbolo es 14 C) es un método para determinar la edad de muestras orgánicas
de menos de 50000 años, y es una de las herramientas más usadas para datar
restos fósiles y otras materias orgánicas. Se sabe que la vida media del 14 C es
de 5730 años. Luego, como se establece en el ejemplo anterior, la constante de
desintegración del 14 C se calcula como
λ = ln 2/5730 ≈ 0.00012096809.
Entonces la cantidad de átomos de 14 C luego de un tiempo t, medido en años,
está dada por
N(t) = N 0 e −λt ,
siendo N 0 el número de átomos cuando t = 0. ¿Cómo se determina la edad del
fósil? Después de que un organismo muere, la cantidad de 14 C en su interior empieza
a desintegrarse exponencialmente. Podemos entonces determinar el tiempo
transcurrido desde su muerte si determinamos la cantidad de 14 C restante.
Por ejemplo, supongamos que se encuentra un fósil que contiene un 15 % de
14 C de lo que contiene un ejemplar vivo de la misma especie. ¿Cuánto tiempo
hace que murió?
Solución: Llamemos N 0 a la cantidad de 14 C que contiene la muestra viva. Entonces
el fósil contiene 0.15N 0 . Reemplazando en la ecuación tenemos
0.15N 0 = N 0 e −λt ,
siendo t la cantidad de años que transcurrieron desde su muerte, y que debemos
determinar resolviendo la ecuación:
0.15N 0 = N 0 e −λt ⇔ 0.15 = e −λt ⇔ ln(0.15) = −λt ⇔ t = ln(0.15) .
−λ
Por lo tanto, la edad de dicho fósil será, aproximadamente, de 15683 años.
∠
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