13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

5.7. Función logarítmica
Como hemos visto, el logaritmo y la exponencial están estrechamente relacionados.
En primer lugar, por la definición misma del logaritmo. Además, como
enunciamos en el Capítulo 2, de esta definición se deduce que
log a (a x ) = x y a log a x = x.
Esto nos dice que si a un número x le aplicamos ambas operaciones (logaritmo y
exponencial con la misma base) se obtiene el mismo x, independientemente del
orden en el que apliquemos dichas operaciones. Es lo mismo que ocurre cuando
a un número le sumamos y restamos la misma cantidad, o lo multiplicamos y
dividimos por lo mismo:
x + 2 − 2 = x,
x ⋅ 2
2 = x.
En este sentido, las operaciones son inversas, ya que al aplicar ambas a un
número fijo, no afectan su valor. En forma general, decimos que dos funciones
f y g son inversas si
f(g(x)) = x y g(f(x)) = x,
para todo valor permitido x en cada caso (ver Ejercicios 11 a 14). Así, las funciones
f(x) = log a x y g(x) = a x son inversas, para todo a positivo y distinto
de 1.
Existe una relación entre las gráficas de funciones inversas: se obtiene la
de una reflejando respecto de la recta y = x la de la otra. Ilustramos este hecho a
continuación, según el valor de la base a:
4
3
2
1
log a x
a x
4
3
2
1
a x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−1
−2
−3
−4
log a x
Caso a > 1 Caso 0 < a < 1
A partir de lo anterior y de lo que sabemos sobre la función exponencial,
podemos obtener las siguientes conclusiones sobre la función logarítmica
f(x) = log a x (a > 0, a ≠ 1):
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