13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 5. Funciones
Veamos esto hallando las raíces de las siguientes funciones cuadráticas, y representándolas
gráficamente:
f(x) = x 2 − x − 2, g(x) = x 2 + 6x + 9, h(x) = −x 2 − 1.
Raíces de f. Aplicamos la resolvente con a = 1, b = −1 y c = −2:
x = 1 ± √ (−1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2)
2 ⋅ 1
= 1 ± 3
2 ,
lo que nos da como resultado las raíces x 1 = 2 y x 2 = −1.
Raíces de g. Podemos aplicar la resolvente con a = 1, b = 6 y c = 9, o bien
notar que el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto: g(x) = (x + 3) 2 , por
lo que la única raíz será x = −3 (con multiplicidad 2).
Raíces de h. Debemos aplicar la resolvente con a = −1, b = 0 y c = −1:
x = 0 ± √ 0 2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−1)
2 ⋅ (−1)
= 1 ± √ −4
,
−2
lo cual no tiene solución en los reales (el discriminante es negativo). Por lo tanto
h no tiene raíces reales. Esto tiene sentido ya que −x 2 − 1 < 0 para todo valor de
x, lo que significa que la gráfica de h se encuentra siempre debajo del eje x, y
entonces nunca lo interseca.
La gráficas de estas tres funciones son las siguientes:
5
f(x)
4
3
g(x)
2
1
x
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
h(x)
−6
∠
Conocer las raíces de una función cuadrática no es suficiente para determinar
por completo su ecuación, pues existen infinitas parábolas que tienen las
mismas raíces. Por ejemplo:
232