13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 3. Polinomios y expresiones racionales
Los siguientes son ejemplos de polinomios:
3x 4 − 2x + 1 2 , πx7 + 5x 2 , 3, 8x + 1, x 2 − √ 3x. "
En cambio, estas expresiones no son polinomios:
x −2 + 3x,
1
x 2 + 3x + 1 , x 1 2 − 5, x π − x 2 . %
Notar que cada número real puede ser visto como un polinomio, y es llamado
polinomio constante. El caso especial del cero recibe el nombre de polinomio
nulo.
Para ponerle nombre a un polinomio escribimos, por ejemplo,
p(x) = x 4 − 2x 2 + 1, q(x) = x − 3 + x 2 , r(x) = 2x 3 − x 2 + 1 4 x + 5.
Es decir, los nombramos con alguna letra e indicamos entre paréntesis cómo
hemos llamado a la variable, la cual, como ya mencionamos, no necesariamente
debe llamarse x:
s(t) = t 2 − 3t + 1,
es un polinomio con t como variable.
El grado de un polinomio no nulo p, denotado como gr(p), se define como
el exponente más grande al que aparece elevada la variable, siendo su coeficiente
no nulo. Por ejemplo, para los polinomios dados arriba tenemos que
gr(p) = 4, gr(q) = 2, gr(r) = 3, gr(s) = 2.
En particular, los polinomios constantes pero no nulos tienen grado cero, mientras
que el polinomio nulo no posee grado.
Cuando se define el grado de un polinomio se aclara “siendo su coeficiente
no nulo”. Esto se debe a que, por ejemplo, podemos escribir
p(x) = x 4 − 2x 2 + 1 = 0x 5 + x 4 − x 2 + 1 = 0x 18 + x 4 − 2x 2 + 1,
y de esta manera no podríamos determinar el grado. Pero, como se indica, para
ello se tienen en cuenta solamente los términos cuyos coeficientes sean distintos
de cero.
Si un polinomio tiene grado n, entonces a n se denomina coeficiente principal
del polinomio. Así, por ejemplo, en los polinomios anteriores el coeficiente
principal de p es 1, al igual que el de q y s, mientras que el de r es 2.
Cuando un polinomio tiene coeficiente principal igual a 1, es llamado polinomio
mónico. En los ejemplos anteriores, p, q y s son polinomios mónicos.
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