13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 1. Conjuntos
mientras que por comprensión se escribe
A = {las vocales} o bien A = {x: x es vocal}.
En el último caso se lee “A es el conjunto de todas las x tal que x es vocal”, es
decir, los dos puntos se leen como “tal que”.
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Notar que un conjunto se denota encerrando entre llaves a sus elementos
(separando los mismos con comas si se define por extensión), o a su propiedad
característica (si se define por comprensión).
Un conjunto puede ser finito, es decir, puede estar formado por una cantidad
finita de elementos (por ejemplo 5 elementos, 10 o un millón de elementos, no
importa si son muchos, e incluso puede no tener ninguno), o bien contener una
cantidad infinita de ellos y, en tal caso, se llama conjunto infinito. Por ejemplo,
el conjunto de los números naturales (que veremos en detalle en el Capítulo 2)
es un conjunto infinito. Si queremos enunciar este conjunto por extensión, se
utilizan los puntos suspensivos para indicar que la lista de elementos sigue:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . }.
Si x es un elemento de un conjunto A dado, se dice que x pertenece a A, y
se denota
x ∈ A.
En caso contrario, si x no es un elemento de A, se denota x ∉ A. Por ejemplo,
para el caso del conjunto A de las vocales tenemos que e ∈ A, pero m ∉ A.
Una relación natural entre conjuntos es la igualdad. Se dice que dos conjuntos
A y B son iguales si ambos tienen exactamente los mismos elementos, y en
tal caso escribimos A = B. Notar que los siguientes conjuntos son iguales
A = {a, e, i, o, u}, B = {i, o, u, a, e}, C = {a, o, e, a, o, u, i},
ya que al definir un conjunto no importa en qué orden se listen los elementos ni
cuántas veces se repita a cada uno. Luego, A = B = C.
Existe otra relación entre conjuntos que también es muy natural, y es la de
inclusión. Se dice que un conjunto A está incluido (o contenido) en otro conjunto
B, si todo elemento de A es también elemento de B. Si esto ocurre, se
denota por
A ⊆ B.
También suele decirse que A es subconjunto de B. Por ejemplo, si como antes
A es el conjunto de las vocales, y B es el conjunto de todas las letras del
abecedario, entonces A ⊆ B. También {e} ⊆ A.
Si A = B, entonces también vale que A ⊆ B y que B ⊆ A. Recíprocamente,
si tenemos que A ⊆ B y que B ⊆ A, entonces se puede concluir que A = B.
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