13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Ejemplo 111. Resolver la ecuación log 7 (2x) − log 7 (x 2 − 8) = 0.
Solución: Los valores permitidos para x son aquellos tales que
2x > 0 y x 2 − 8 > 0,
ya que el logaritmo de números negativos no está definido.
Para resolver la ecuación, comenzamos aplicando la propiedad de la resta de
dos logaritmos con igual base para transformar la ecuación en
log 7 (
2x
x 2 − 8 ) = 0.
Por definición de logaritmo, esto es equivalente a
7 0 = 2x
x 2 − 8 ,
con lo que eliminamos el logaritmo, y ahora debemos resolver esta última ecuación:
1 = 2x
x 2 − 8 ⇐⇒ x2 − 8 = 2x ⇐⇒ x 2 − 2x − 8 = 0.
Resolvemos ahora esta ecuación cuadrática usando la resolvente:
x 1,2 = 2 ± √ (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8)
2 ⋅ 1
= 2 ± 6
2 ,
lo que lleva a x 1 = 4 y x 2 = −2. Sin embargo, x = −2 no formará parte del
conjunto solución, ya que no satisface las desigualdades que definen a los valores
permitidos (en este caso no satisface ninguna de las dos, pero no satisfacer
alguna de ellas es suficiente para descartar dicho valor). Para verificar que x = 4
es solución de la ecuación original, reemplazamos para obtener:
x = 4 ∶ log 7 (2 ⋅ 4) − log 7 (4 2 − 8) = log 7 (8) − log 7 (8) = 0. "
Luego, la única solución es x = 4, es decir, S = {4}.
El siguiente ejemplo muestra que a veces algunas soluciones de la ecuación
deben ser descartadas como soluciones de un problema concreto. Esto se debe a
que, si bien la ecuación modela el problema, por el contexto del mismo algunos
valores no son permitidos.
∠
Ejemplo 112. Soluciones descartadas debido al contexto.
Hallar la longitud de la base de un triángulo que tiene un área de 24 cm 2 , y
cuya altura mide 2 cm más que la base correspondiente.
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