13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 3. Polinomios y expresiones racionales
= (2x 4 + 2x − x 2 + 6x 3 + 6 − 3x) (1 − x 2 )
= (2x 4 + 6x 3 − x 2 − x + 6) (1 − x 2 )
= 2x 4 − 2x 6 + 6x 3 − 6x 5 − x 2 + x 4 − x + x 3 + 6 − 6x 2
= −2x 6 − 6x 5 + 3x 4 + 7x 3 − 7x 2 − x + 6,
donde en el penúltimo paso no se dibujaron las “flechas”, simplemente se expresó
el resultado de multiplicar cada monomio del primer polinomio por cada
uno de los del segundo. Finalmente, se sumaron los monomios de igual grado y
se ordenaron.
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Si bien cualquier producto de polinomios se puede efectuar como se indicó
arriba, hay algunos casos particulares que, si los sabemos manejar, podrán ahorrarnos
un poco de tiempo al momento de hacer los cálculos. Sin embargo, si
al intentar usar alguno de estos casos particulares no se recuerda la fórmula,
siempre se puede recurrir a hacer el producto en la forma tradicional.
Los casos especiales que veremos son tres: cuadrado de un binomio, cubo
de un binomio, y un producto de binomios cuyo resultado es una diferencia de
cuadrados.
Cuadrado de un binomio.
Como su nombre lo indica, analizaremos el resultado de elevar al cuadrado
un binomio, lo que significa multiplicar el binomio por sí mismo. Lo haremos
primero para una expresión de la forma a + b:
(a + b) 2 = (a + b) ⋅ (a + b) = a 2 + a ⋅ b + b ⋅ a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 . (3.2.1)
En palabras, si elevamos al cuadrado la suma de dos términos, se obtiene la
suma entre el cuadrado del primero, el cuadrado del segundo y el doble producto
de ellos. Análogamente * ,
(a − b) 2 = (a − b)(a − b) = a 2 − a ⋅ b − b ⋅ a + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 . (3.2.2)
Notar que el signo menos solamente afecta, en el resultado final, al término que
tiene el doble producto de los términos, ya que (−b)(−b) = b 2 .
Apliquemos las fórmulas (3.2.1) y (3.2.2) para comprenderlas mejor.
Ejemplo 55. Cuadrado de un binomio.
◾ (x + 5) 2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 5 + 5 2 = x 2 + 10x + 25.
◾ (x − 3) 2 = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 2 = x 2 − 6x + 9.
◾ (2x 3 − 4x) 2 = (2x 3 ) 2 − 2 ⋅ (2x 3 ) ⋅ (4x) + (4x) 2 = 4x 6 − 16x 4 + 16x 2 .
*Este resultado puede obtenerse también a partir de la suma, ya que a − b = a + (−b).
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