13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

Capítulo 5. Funciones
el valor absoluto de a es menor que uno, las ramas son mas “abiertas” (quedando
más cercanas al eje x) que las de la parábola matriz, mientras que si su valor
absoluto es mayor que uno, las ramas comienzan a “cerrarse” más (quedando
más cercanas al eje y). En todos los casos el eje de simetría es el eje y, y el
vértice es (0, 0).
Un punto (x ∗ , y ∗ ) perteneciente a la gráfica de una función f es un punto de
mínimo si f(x) ≥ y ∗ , para todo x en el dominio de f. Es decir, la ordenada y ∗
de un punto de mínimo indica el valor más pequeño que toma f, y la abscisa x ∗
indica dónde dicho valor mínimo fue alcanzado. Similarmente, la ordenada de
un punto de máximo indica el valor más grande que toma f y, al igual que
antes, la abscisa indica dónde fue alcanzado. No toda función posee un mínimo
o un máximo en su conjunto imagen (pensar, por ejemplo, en f(x) = x, cuya
imagen es R), por lo que estos puntos no siempre existen. Para el caso de una
parábola de la forma y = ax 2 , el vértice (0, 0) es el punto de mínimo cuando
a > 0, y el punto de máximo si a < 0.
Resumimos todo lo anterior en el siguiente cuadro:
Gráfica de y = ax 2 : parábola simétrica con respecto al eje y, vértice en (0, 0)
a > 1
Ramas hacia arriba, más cerrada que y = x 2
a > 0
El vértice es un punto de mínimo
0 < a < 1
a < −1
Ramas hacia arriba, más abierta que y = x 2
Ramas hacia abajo, más cerrada que y = −x 2
a < 0
El vértice es un punto de máximo
−1 < a < 0
Ramas hacia abajo, más abierta que y = −x 2
Analizaremos ahora el efecto del parámetro c.
Ejemplo 189. Gráfico de f(x) = x 2 + c. Aquí a = 1 y b = 0, y tomaremos
diferentes valores de c para detectar el efecto que produce con respecto a la
parábola matriz. En particular, construiremos tablas de valores para las funciones
dadas por
y = x 2 + 1, y = x 2 + 2, y = x 2 − 3.
Como en el caso de y = ax 2 , las funciones anteriores satisfacen f(−x) = f(x)
porque la variable x está elevada al cuadrado, por lo que en las tablas incluiremos
solamente valores positivos de x:
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