13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

2.3. Números reales
Solución: Utilizamos la propiedad (f) para reescribir (i) como −3 < x < 3. Para
las dos restantes usaremos la propiedad (g): la desigualdad en (ii) es equivalente
a
2 − b ≥ 4 o 2 − b ≤ −4,
mientras que lo dado en (iii) equivale a
5y > 10 o 5y < −10. ∠
Ejemplo 44. Sean a, b y c números reales tales que ∣a − b∣ = 3 y ∣b − c∣ = 2. Si
además satisfacen que a < b < c, encontrar la distancia entre a y c.
Solución: Para resolverlo, resultará útil ubicarlos en la recta numérica. Podemos
comenzar ubicando a en cualquier parte, y combinar las hipótesis a < b con
∣a − b∣ = 3 para concluir que b debe estar a 3 unidades hacia la derecha de a. De
la misma forma, de b < c y ∣b − c∣ = 2 se deduce que c debe estar a 2 unidades
hacia la derecha de b, obteniendo así el siguiente gráfico:
a b c
Entonces, podemos concluir que la distancia entre a y c es 5. En este caso se
cumple que ∣a − c∣ = ∣a − b∣ + ∣b − c∣ = 3 + 2, pero esto sucedió gracias a la
hipótesis adicional a < b < c. Sin esto, lo único que podemos saber gracias a la
desigualdad triangular (e) es que
∣a − c∣ = ∣a − b + b − c∣ = ∣(a − b) + (b − c)∣ ≤ ∣a − b∣ + ∣b − c∣.
Es decir, podríamos asegurar que ∣a − c∣ ≤ 5, pero no podríamos dar su valor
exacto (por ejemplo, si el orden fuera a < c < b, entonces haciendo un gráfico
similar al anterior se obtiene que ∣a − c∣ = 1).
∠
Como se mencionó anteriormente, la comprensión del valor absoluto será
fundamental al momento de resolver ecuaciones. Por eso, la observación siguiente
evitará cometer un error frecuente:
√
32 = √ 9 = 3,
pero también
√
(−3)2 = √ 9 = 3.
Lo mismo ocurre con cualquier otro exponente par:
√
4
(−2)4 = 4√ 16 = 2.
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