13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

2.3. Números reales
Tricotomía: dados dos números reales a y b, entonces se cumple una y
solo una de las siguientes opciones:
a < b, a = b, b < a.
Transitiva: si a < b y b < c, entonces a < c.
Las operaciones estudiadas previamente producen un efecto en el orden
entre dos números reales: algunas lo mantienen, otras lo invierten. En cualquiera
de estos casos, esto se conoce como monotonía de la operación, y enunciamos
el efecto de cada una a continuación:
Suma (o resta): si a < b, entonces a + c < b + c para todo número real c.
Producto (o cociente): si a < b, entonces ac < bc cuando c > 0, pero
ac > bc cuando c < 0.
Potencia (o radicación): si q > 0 y 0 < x < y entonces x q < y q .
Logaritmo: si 0 < x < y, entonces log a x < log a y cuando a > 1, pero
log a x > log a y cuando 0 < a < 1.
La monotonía del producto dice que multiplicar ambos lados de una desigualdad
por un número positivo, no cambia el sentido de la misma. Sin embargo,
si multiplicamos por un número negativo, la misma se invierte. Algo similar
ocurre con el logaritmo, el cual preserva el orden cuando la base es mayor que
uno, pero lo invierte en caso contrario.
El conjunto de todos los números reales puede representarse gráficamente
como una recta numérica, como se indica a continuación:
-5
-4
-3
-2
-1
0 1 2 3 4 5
Existe una forma simple de expresar el conjunto de los números reales que
satisfacen una desigualdad doble o simple, y es mediante intervalos. Por ejemplo,
si a y b son dos números reales con a < b, el conjunto
J = {x ∈ R ∶ a < x < b}
puede escribirse de manera más simple mediante el intervalo abierto (a, b),
que representa la parte de la recta comprendida entre a y b, como lo indica el
siguiente gráfico:
a
b
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