13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

5.4. Sistemas de inecuaciones lineales
Solución: Denotemos con x a la cantidad de lápices fabricados por día, y con y a
la cantidad de biromes. Entonces la función que debemos maximizar (ganancia),
está dada en pesos por
Función objetivo: f(x, y) = 2x + 3y.
Las restricciones sobre la producción son las siguientes: la producción total (es
decir, la cantidad de lápices más la de biromes) no puede exceder los 6000 artículos
(x + y ≤ 6000); la cantidad de lápices debe ser al menos la quinta parte de
la cantidad de biromes (x ≥ 1 y), y puede ser a lo sumo el triple de la misma
5
(x ≤ 3y). Esto produce el siguiente sistema:
Restricciones
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x + y ≤ 6000
1
x ≥
5 y
x ≤ 3y
x ≥ 0
y ≥ 0,
donde las dos últimas desigualdades se agregan ya que la cantidad a fabricar no
puede ser negativa. La región factible para el problema es la solución de este
sistema, la cual se da en el siguiente gráfico:
6000
y = 5x
P
Biromes
4000
2000
y = −x + 6000
Q
y = 1 3 x
0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Lápices
Entonces cualquier punto en la región sombreada satisface las restricciones (por
supuesto que, por el contexto del problema, buscamos puntos con coordenadas
enteras). Sabemos que la solución óptima se dará en alguno de los vértices de
la región factible: el origen (el cual descartamos porque no produce ganancia
alguna), P = (1000, 5000), o Q = (4500, 1500). Los puntos P y Q pueden
obtenerse analíticamente igualando las ecuaciones de las rectas correspondientes
217