13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

3.3. Factorización de polinomios
◾ n par
● Suma x n + r n . Cuando tenemos la suma de dos potencias pares, entonces
el polinomio ya está factorizado por completo en los reales. Por ejemplo,
x 2 + 4. Esto se debe a que dicha suma es estrictamente positiva, por lo que
no tiene raíces reales.
● Resta x n − r n . Cuando tenemos la resta de dos potencias pares, entonces
estamos en realidad ante una diferencia de cuadrados, y se trabaja como
ya lo vimos:
x 8 − 3 8 = (x 4 ) 2 − (3 4 ) 2 = (x 4 − 3 4 ) (x 4 + 3 4 ) .
Notar que en lo anterior, x 4 − 3 4 puede a su vez factorizarse como
x 4 − 3 4 = (x 2 − 3 2 )(x 2 + 3 2 ) = (x − 3)(x + 3)(x 2 + 3 2 ),
al reconocer dos veces más una diferencia de cuadrados. Así,
x 8 − 3 8 = (x − 3)(x + 3)(x 2 + 3 2 ) (x 4 + 3 4 ) .
Notar que los dos últimos factores son de la forma x n + r n con n par y, por el
caso anterior, no pueden factorizarse más.
◾ n impar
● Suma x n + r n . Por ejemplo, consideremos
p(x) = x 3 + 125 = x 3 + 5 3 .
Observar que p(−5) = 0, por lo que (x − (−5)) = (x + 5) es divisor de p.
Aplicando la regla de Ruffini tenemos:
1 0 0 125
− 5 − 5 25 − 125
1 − 5 25 0
Luego,
x 3 + 5 3 = (x 2 − 5x + 25)(x + 5).
● Resta x n − r n . Consideremos ahora
q(x) = x 5 − 32 = x 5 − 2 5 .
Notar que q(2) = 0, así que aplicamos la regla de Ruffini para dividir q
por (x − 2):
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