13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

5.6. Función exponencial
Ejemplo 212. Desintegración radiactiva. Los elementos radiactivos tienden
a disminuir hasta agotarse completamente a medida que transcurre el tiempo.
Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley
exponencial decreciente, y la cantidad de núcleos radiactivos en el instante t está
dada por:
N(t) = N 0 e −λt ,
siendo t el tiempo medido en alguna unidad determinada, N 0 la cantidad inicial,
y λ una constante de desintegración, que varía en cada sustancia. Por ejemplo,
supongamos que una sustancia radiactiva se desintegra en forma tal que la cantidad
de masa (en gramos) restante después de t días está dada por la función
N(t) = 12e −0.08t .
¿Cuál será la masa restante luego de una semana? ¿Cuánto tiempo demora en
reducirse la masa inicial a su tercera parte?
Solución: La masa restante luego de una semana es N(7) = 12e −0.08⋅7 , que es
aproximadamente 6.85 gramos. Para responder la otra pregunta, notar que la
masa inicial es N(0) = 12, por lo que debemos hallar t tal que N(t) = 12/3 = 4.
Resolvamos entonces la ecuación:
4 = 12e −0.08t ⇔ 1 3 = e−0.08t ⇔ ln ( 1 ) = −0.08t ⇔ t ≈ 13.73.
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Por lo tanto, la masa inicial se reduce a un tercio luego de casi 14 días.
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Ejemplo 213. Vida media de una sustancia radiactiva. Para cada sustancia
radiactiva existe un valor denominado vida media o semivida, que es el
tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la materia. Esta cantidad, que denotaremos
aquí como T M , se relaciona con la constante de desintegración λ del
ejemplo anterior mediante la fórmula
T M = ln 2
λ .
Luego, conociendo la vida media de una sustancia podemos calcular su constante
de desintegración como
λ = ln 2
T M
.
Por ejemplo, el Yodo-131 (I-131) es radiactivo y tiene una vida media aproximada
de 8 días * . Entonces su constante de desintegración es λ = 0.087.
*Utilizado en medicina, por ejemplo, para diagnóstico y tratamiento de enfermedades relacionadas
con la glándula tiroides.
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