13. Manual de matematica preuniversitaria autor Marilina Carena

3.2. Operaciones entre polinomios
El trinomio que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado es llamado
trinomio cuadrado perfecto. Polinomios de esta forma serán estudiados con
más detalle en el Capítulo 4.
Cubo de un binomio.
Ahora consideraremos el resultado de hacer (a+b) 3 . Aplicando la definición
de potencia y (3.2.1), obtenemos
(a + b) 3 = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ).
Resolviendo este producto se llega al siguiente resultado:
Similarmente se obtiene:
(a + b) 3 = a 3 + 3ba 2 + 3ab 2 + b 3 . (3.2.3)
(a − b) 3 = a 3 − 3ba 2 + 3ab 2 − b 3 . (3.2.4)
Notar que en este caso el signo menos afecta a los términos en los que b posee
exponentes impares.
Ejemplo 56. Cubo de un binomio. Aplicar las fórmulas (3.2.3) o (3.2.4) para
obtener el cubo de los siguientes binomios:
(x + 2) 3 , (x − 3) 3 , (3x 2 + x) 3 .
Solución:
◾ (x + 2) 3 = x 3 + 3 ⋅ 2 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x ⋅ 2 2 + 2 3 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8.
◾ (x − 3) 3 = x 3 − 3 ⋅ 3 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x ⋅ 3 2 − 3 3 = x 3 − 9x 2 + 27x − 27.
◾ (3x 2 + x) 3 = (3x 2 ) 3 + 3x(3x 2 ) 2 + 3(3x 2 )x 2 + x 3
= 27x 6 + 27x 5 + 9x 4 + x 3 . ∠
El polinomio que se obtiene al elevar un binomio al cubo se llama cuatrinomio
cubo perfecto.
Diferencia de cuadrados.
Consideremos un producto de dos factores con el siguiente aspecto:
(a + b)(a − b) = a 2 − ✚ab + ✚ba − b 2 = a 2 − b 2 .
Luego,
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . (3.2.5)
Se llama diferencia de cuadrados al resultado obtenido, ya que es la diferencia
de dos cuadrados. Notar que el cuadrado que aparece restando es el
correspondiente al valor que cambia de signo entre los dos factores.
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