Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheDividendo le due equazioni membro a membroe √ 2τ −e −√ 2τ( √ 2+1)e √ 2τ+( √ 2−1)e −√ 2τ = y x .Ponendo z = e √ 2τ , si ottiene, anche moltiplicando questa uguaglianza per z,( √ 2+1)z 2 y +( √ 2−1)y = z 2 x−x,da cuie quindi[ √( 2−1)y +xz =x−( √ 2+1)y]12,[ √e τ √= z 1 ( 2−1)y +x] 12 =x−( √ 2 √ 2.2+1)yR.[( √ 2−1u(x,y) = 2√2+1( √ 2+1)x+y( √ 2−1)x−ynel quarto di piano Q = {( √ 2−1)x > y > −( √ 2+1)x}.16. [4/2/2005 (hw)I] Risolvere{xyux +xyu y = 0,u(−1,s) = s 2 , s > 0.) 1 ]2 √ 2−1 ,(Sugg. Osservare bene l’equazione prima di iniziare i calcoli ...)R.u(x,y) = (x−y +1) 2 , per y > x+1.17. [4/2/2005 (hw)I] Risolvere⎧⎨yu x +(2x+y)u y = 1 u ,⎩u(0,s 2 ) = s 2 , s > 0.R.u(x,y) =√(y −2x) 4 3(x+y) 2 3 − 2 3lny −2xx+y .18. [23/6/2005 (ex)I] Risolvere il problema di Cauchyu x +xu y = 1 u ,u(0,s) = s 2 , 0 < s < 2,10