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Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

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530. Formula <strong>di</strong> rappresentazione eq. <strong>di</strong> Laplace nel semipiano29. [8/2/2010 (ex)I] Si consideri la soluzione u <strong>di</strong>u t −Du xx = 0, −∞ < x < ∞,t > 0,{2|sinx|, x < 0,u(x,0) =Dimostrare che|sinx|, x > 0.u(−x,t) > u(x,t), per ogni x > 0, t > 0.SoluzioneSi ha dalla formula <strong>di</strong> rappresentazioneu(−x,t)−u(x,t) = 1 ∫2 √ πt+∞−∞∗ = 1 ∫2 √ πt= − 12 √ πt∗ = 12 √ πt+∞−∞∫ 0−∞∫ ∞−∞[u 0 (ξ)e − (−x−ξ)24Dt[u 0 (−ξ)−u 0 (ξ)]−u 0 (ξ)e − (x−ξ)24Dt dξ]e −(x−ξ)2 4Dt|sinξ|e −(x−ξ)2 4Dt dξ + 12 √ πt|sinξ|[e −(x−ξ)2 4Dtdξ∫ ∞]−e −(x+ξ)2 4Dt dξ > 0,0|sinξ|e −(x−ξ)2 4Dtperché nell’ultimo integrale si ha x > 0, ξ > 0. Nei passaggi segnalati da ∗ si èusato il cambiamento <strong>di</strong> variabili ξ → −ξ.dξ530. Formula <strong>di</strong> rappresentazione eq. <strong>di</strong> Laplace nel semipiano1. [16/4/2003 (ex)I] Calcolare, m<strong>ed</strong>iante formule <strong>di</strong> rappresentazione, lasoluzione limitata <strong>di</strong>u xx +u yy = 0, 0 < x < ∞,0 < y < ∞,u x (0,y) = 0, 0 < y < ∞,u(x,0) = arctgx, 0 < x < ∞.2. [16/4/2003 (ex)II] Calcolare, m<strong>ed</strong>iante formule <strong>di</strong> rappresentazione, lasoluzione limitata <strong>di</strong>u xx +u yy = 0, 0 < x < ∞,0 < y < ∞,u(0,y) = 0, 0 < y < ∞,u(x,0) = 11+x 2 , 0 < x < ∞.147

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