Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheA) Troviamo le curve caratteristiche al suolo, che sono le soluzioni diϕ ′ 1 = 1, ϕ 1(0) = 1,ϕ ′ 2 = 1 ,2ϕ 2ϕ 2 (0) = s,ove parametrizziamo la curva che porta il dato con(1,s), s > 0.La soluzione è(ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) = ( τ +1, √ τ +s 2) , −∞ < τ < ∞.B) Risolviamo poi la e.d.o. sulle curve caratteristicheottenendodUdτ = U +1,U(0) = 3,U(τ;s) = 4e τ −1, −∞ < τ < ∞.C) Infine passiamo alle coordinate cartesiane. Dobbiamo risolvereτ +1 = x,√τ +s2 = y,cha dàτ = x−1,s = √ y 2 −x+1.La determinazione di s potrebbe apparire inutile ai nostri fini, visto che nell’espressionedi U appare solo τ, ma la restrizioney 2 +1 > x,a cui conduce stabilisce l’aperto di definizione della soluzione.R.u(x,y) = 4e x−1 −1, x < y 2 +1, y > 0.7. [23/9/2003 (ex)II] Calcolare la soluzione del problema di Cauchy12x u x +u y = −u+1,u(x,0) = π, x > 0,definita in un opportuno aperto del piano, contenuto in {x > 0}.R.u(x,y) = (π −1)e y +1, y < x 2 , x > 0.6