Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateove u 0 è una qualunque funzione in C([0,π]), soddisfaper ogni fissato θ ∈ [0,π].lim u(rcosθ,rsinθ) = u 0(θ)+1,r→∞22. [15/12/2005 (ex)I] Trovare tutte le soluzioni dixu x +yu y = u+1, x 2 +y 2 > 0.23. [6/2/2006 (hw)I] Trovare una soluzione in un aperto Ω che includa lacurvaγ = {(scoss,ssins) | 2π < s < 6π}che porta il dato, del problemaxu x +yu y = 2u,u(scoss,ssins) = s, 2π < s < 6π.SoluzionePonendo v(r,ϕ) = u(x,y), ove (r,ϕ) sono le usuali coordinate polari, l’equazionedivienerv r = 2v,da cui subitoSu γ = (ψ 1 ,ψ 2 ) valev(r,ϕ) = f(ϕ)r 2 .r 2 = ψ 1 (s) 2 +ψ 2 (s) 2 = s 2 , ϕ = s;la γ è perciò un tratto della spirale r = ϕ. Dunque deve valereInfines = v(s,s) = f(s)s 2 , e quindi f(s) = 1 s .u(x,y) = x2 +y 2ϕ(x,y) .Perchiarirecosaabbiamofatto, einparticolaretrovarelaformadell’apertoΩ in cuirisulta definita la soluzione, dobbiamo investigare più in particolare la trasformazionedi coordinate da cartesiane a polari; soprattutto potrebbe risultare inusualeil fatto che ϕ vari su un intervallo di ampiezza 4π.L’aperto di definizione U di v nel piano (r,ϕ) contiene il segmentol = {(ϕ,ϕ) | 2π < ϕ < 6π};d’altra parte in U non devono cadere punti che rendano non biunivoca la trasformazione(x,y) ↔ (r,ϕ). È pertanto necessario cheU ⊂ U 0 = {(r,ϕ) | 2π < ϕ < 6π,−π+ϕ < r < π+ϕ}.41