Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

605. Calcolo di serie di FourierL’estensione periodica (di periodo 2π) della riflessione pari di f su (−π,π) è diclasse C 1 a tratti, e continua, mentre l’estensione della riflessione dispari non èneanche continua.Lo sviluppo cercato sarà quindi quello in serie di coseni, che corrisponde all’estensionepari.R.β 0 = 7π26 , β n = 2 n 2((−1)n −3).21. [16/9/2008 (ex)II] Si considerino gli sviluppi in serief(x) = 3x(π −x) =∞∑∞∑α n sin(nx) = β 0 + β n cos(nx),n=1in L 2 ((0,π)).Determinare quale dei due sviluppi ha i coefficienti che tendono a zero conmaggiore rapidità per n → ∞, e calcolare questi coefficienti.R.α n = 12πn 3((−1)n+1 +1).n=122. [12/1/2009 (ex)I] Si determinino i coefficienti dello sviluppooveCalcolare ancheSoluzionePer definizionef(x) =∞∑α n sin(nx), 0 < x < π,n=1⎧⎨x, 0 < x < πf(x) =2 ,⎩ πx−π,2 < x < π.α n = 2 π= 2 π∫ π0∫ π0∞∑α 2 n.n=1f(x)sin(nx)dxxsin(nx)dx− 2 π= 2 [ (−1)n+1π + 2 π n n∫ ππ2πsin(nx)dx((−1) n −cosn π 2)].172