Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristiche8. [20/1/2004 (hw)I] Risolvere(2x+y)u x −xu y = e u ,u(s,1−s) = s−1, −∞ < s < ∞.R.]u(x,y) = −ln[(x+y)e yx+y −ln(x+y) ,nella regione ove x+y > 0 e la quantità [...] è positiva.9. [20/1/2004 (hw)I] Risolvere(y +1)u x +yu y = 0,u(s,1) = e s , −∞ < s < ∞.R.u(x,y) = 1 y e1+x−y , y > 0.10. [20/1/2004 (hw)I] Risolverexu x +2yu y = y,u(cosθ,sinθ) = 1, 0 < θ < π.SoluzioneA) Troviamo le caratteristiche al suolo risolvendo il sistemaϕ ′ 1 = ϕ 1 ,ϕ ′ 2 = 2ϕ 2,ϕ 1 (0) = coss,ϕ 2 (0) = sins,ove denotiamo θ = s ∈ (0,π). Ne segue(ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) = ( e τ coss,e 2τ sins ) , −∞ < τ < ∞.B) Risolviamo la e.d.o. sulle caratteristiche al suolodUdτ = e2τ sins,U(0) = 1,ottenendoU(τ;s) = 1+ sins2 (e2τ −1), −∞ < τ < ∞.C) Infine torniamo alle variabili (x,y). Occorre risolvere il sistemae τ coss = x,e 2τ sins = y.7