Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheSoluzioneTroviamo le curve caratteristiche al suolo risolvendo il sistemaϕ ′ 1 = 1, ϕ 1(0;s) = s,ϕ ′ 2 = ϕ 1, ϕ 2 (0;s) = s 2 .Questo sistema ammette l’unica soluzione(ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) =(τ +s, τ22 +sτ +s2) , τ ∈ R.Si noti che sulle caratteristiche valey = x22 + s22 .Risolviamo poi l’equazione differenziale sulle caratteristiche al suolo:U ′ = e 2U ,U(0;s) = s.Procedendo per separazione delle variabili si ottieneddτ e−2U = −2,da cuiU(τ;s) = − 1 2 ln( e −2s −2τ ) , 2τ < e −2s .Infine torniamo alle variabili (x,y), risolvendo il sistemaDa quisotto la restrizioneLa soluzione sarà quindiτ +s = x,τ 22 +sτ +s2 = y.s = √ 2y −x 2 , τ = x− √ 2y −x 2 ,0 < 2y −x 2 < 1.u(x,y) = − 1 2 ln( e −2√ 2y−x 2 −2x+2 √ 2y −x 2) ,il cui aperto di definizione sarà sottoposto alle restrizioni sopra.R.u(x,y) = − 1 2 ln( e −2√ 2y−x 2 −2x+2 √ 2y −x 2) ,definita in{0 < 2y −x 2 < 1}∩{e −2√ 2y−x 2 −2x+2 √ 2y −x 2 > 0}.15