Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

630. Fourier equazione di LaplaceR.(u(x,y) = − y2 π2π sinx+ 6 − 1 π∞∑+n=1)sinx[ 4πn 2[(−1)n −1]e nx + 2(−1)nπn 2 11+n 2 sinx ]cos(ny).16. [28/3/2008 (ex)I] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione di∆u = 0, 0 < x < π,0 < y < 1,u x (0,y) = 0, 0 < y < 1,u x (π,y) = y, 0 < y < 1,u(x,0) = x, 0 < x < π,u y (x,1) = x, 0 < x < π.SoluzioneRiconduciamoci a un problema con dati omogenei al contorno, per esempio con ilcambiamento di incognitaSi verifica che v risolve il problemaCerchiamo v nella formav(x,t) = u(x,t)− x2 y2π .∆v = − y ,π0 < x < π,0 < y < 1,v x (0,y) = 0, 0 < y < 1,v x (π,y) = 0, 0 < y < 1,v(x,0) = x, 0 < x < π,v y (x,1) = x− x22π , 0 < x < π.v(x,y) = α 0 (y)+∞∑α n (y)cos(nx).n=1Il coefficiente α n , n ≥ 1, è soluzione del problemaα ′′ n −n2 α n = 2 πα n (0) = 2 πα ′ n(1) = 2 π∫ π0∫ π0∫ π0(− y )cos(nx)dx = 0, 0 < y < 1,πxcos(nx)dx =: γ 0n ,) (x− x2cos(nx)dx =: γ 1n ,2π224