Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinate34. [18/4/2007 (ex)II] Trovare la soluzione dixu x +yu y = u+2,u(3,s) = 0, −∞ < s < ∞,esprimendola sia in coordinate polari che cartesiane.R.v(r,ϕ) = 2 3 rcosϕ−2, r > 0,−π 2 < ϕ < π 2 ;u(x,y) = 2 x−2, x > 0.335. [12/7/2007 (ex)I] Risolvere il problema di Cauchyxu x +yu y = 2u,u(s,1−s) = s, 0 < s < 1.SoluzionePassiamo a coordinate polari (r,ϕ) con v(r,ϕ) = u(x,y).La curva che porta il dato è il segmentoche in coordinate polari è dato dar =Il problema diviene dunqueQuindie(1)vcosϕ+sinϕ ,ϕper r > 0 e 0 < ϕ < π/2.Sostituendo il dato di Cauchyy +x = 1, 0 < x < 1,1cosϕ+sinϕ , 0 < ϕ < π 2 .rv r = 2v,=cosϕcosϕ+sinϕ , 0 < ϕ < π 2 .v rv = 2 r ,v(r,ϕ)ln ( ) = 2lnr(cosϕ+sinϕ),1vcosϕ+sinϕ ,ϕv(r,ϕ) = r 2 cosϕ(cosϕ+sinϕ).48