Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinate28. [6/7/2006 (ex)I] Risolvere il problema di Cauchy−yu x +xu y = sinx,u(s,0) = s, s > 0.Rappresentare la soluzione sia in coordinate cartesiane che polari nel semipianox > 0.SoluzionePassando a coordinate polari (r,ϕ),il problema divienePerciòda cui, ricordando che in x > 0v(r,ϕ) = u(rcosϕ,rsinϕ),v ϕ = sin(rcosϕ),v(r,0) = r, r > 0.v(r,ϕ) = r+∫ ϕ0sin(rcost)dt,( yϕ = arctg ,x)u(x,y) = √ x 2 +y 2 +∫arctg( y x )0sin( √ x 2 +y 2 cost)dt.R.u(x,y) = √ arctg(∫y x )x 2 +y 2 + sin( √ x 2 +y 2 cost)dt x > 0;0∫ ϕv(r,ϕ) = r+ sin(rcost)dt, − π 2 < ϕ < π 2 .029. [6/7/2006 (ex)II] Risolvere il problema di Cauchy−yu x +xu y = e y ,u(s,0) = s 2 , s > 0.Rappresentare la soluzione sia in coordinate cartesiane che polari nel semipianox > 0.45