Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contornoR.u(x,t) = 1 2 [u 0(x−ct)+u 0 (x+ct)]+ 1 c[cos( x−ctove u 0 è la funzione di periodo 4π definita su R da⎧⎪⎨ −cos x 4 , −2π < x < −π,u 0 (x) = sin⎪⎩x 4, −π < x < π,cos x 4 , π < x < 2π.2)−cos( x+ct2)],6.[14/4/2004 (ex)I] ScriveremediantelaformuladiD’Alembert lasoluzionediSoluzioneLa soluzione è data dau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < 1,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u x (1,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 1, 0 < x < 1,u t (x,0) = 1−x, 0 < x < 1.u(x,t) = 1 2 [ũ 0(x−ct)+ũ 0 (x+ct)]+ 1 2c∫x+ctx−ctũ 1 (s)ds,con ũ 0 e ũ 1 trovati estendendo i dati iniziali per u e u t in modo che si riflettano inmodo pari intorno a x = 0, x = 1. Si ottiene subitoeũ 0 (x) = 1, −∞ < x < ∞,ũ 1 (x) = 1−|x|, −1 < x < 1,con ũ 1 definita poi come funzione periodica di periodo 2 su (−∞,∞).R.u(x,t) = 1+ 1 x+ct ∫dist(s,interi dispari)ds.2cx−ct7. [14/4/2004 (ex)II] Scrivere mediante la formula di D’Alembert la soluzionediu tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < 1,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(1,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 1, 0 < x < 1,u t (x,0) = sin(πx), 0 < x < 1.73