Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali
Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali
Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
520. Formula <strong>di</strong> rappresentazione eq. del caloreove la ũ 0 ha periodo 4π e sod<strong>di</strong>sfa{|x|sinx, −π < x < π,ũ 0 (x) =|2π −x|sin(2π −x), π < x < 3π.23. [16/9/2008 (ex)I] Trovare la soluzione <strong>di</strong>u t −Du xx = 0 0 < x < 1,t > 0,u(x,0) = 1−x, 0 < x < 1,u(0,t) = 0, t > 0,u x (1,t) = 0, t > 0,m<strong>ed</strong>iante l’opportuna formula <strong>di</strong> rappresentazione.SoluzioneOccorre riflettere il dato in modo <strong>di</strong>spari intorno a x = 0, e in modo pari intorno ax = 1, ottenendo:⎧−1−x, −1 < x < 0,⎪⎨ 1−x, 0 < x < 1,ũ 0 (x) =−1+x, 1 < x < 2,⎪⎩−3+x, 2 < x < 3.R.1u(x,t) =2 √ πDt∫ ∞−∞e −(x−ξ)2 4Dt ũ 0 (ξ)dξ, 0 < x < 1,t > 0,ove ũ 0 è l’estensione perio<strong>di</strong>ca a R con periodo 4 <strong>di</strong>⎧−1−x, −1 < x < 0,⎪⎨ 1−x, 0 < x < 1,ũ 0 (x) =−1+x, 1 < x < 2,⎪⎩−3+x, 2 < x < 3.24. [16/9/2008 (ex)II] Trovare la soluzione <strong>di</strong>u t −Du xx = 0 0 < x < 1,t > 0,u(x,0) = 1−x 2 , 0 < x < 1,u(0,t) = 0, t > 0,u x (1,t) = 0, t > 0,m<strong>ed</strong>iante l’opportuna formula <strong>di</strong> rappresentazione.R.∫1∞u(x,t) =2 √ e −(x−ξ)2 4Dt ũ 0 (ξ)dξ, 0 < x < 1,t > 0,πDt−∞143