Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeR. Se n ≠ ωc −1 per ogni n:∞∑ ω 2 γ[0nu(x,t) = sin(ωt)+c 2 n 2 −ω 2 sin(ωt)− ω ]sin(nx).cn sin(cnt)n=1Se invece n 0 = ωc −1 per un n 0 ∈ N:Quiu(x,t) = sin(ωt)+ ∑n≥1,n≠n 0ω 2 γ[0nc 2 n 2 −ω 2 sin(ωt)− ω ]sin(nx)cn sin(cnt)[ γ0n0+2 sin(ωt)− ωγ 0n 02⎧⎨ 4γ 0n = πn , n dispari;⎩0, n pari.]tcos(ωt) sin(nx).18. [14/7/2008 (ex)I] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu tt −c 2 u xx = acos(βx)sin 2 (bt), 0 < x < π,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = 0, 0 < x < π.Qui a > 0, b > 0, β > 0 sono costanti.SoluzioneCerchiamo u nella formau(x,t) = α 0 (t)+∞∑α n (t)cos(nx).n=1Il coefficiente α n , n ≥ 1, è soluzione del problema0α ′′ n +c 2 n 2 α n = γ 0n sin 2 (bt), t > 0, (1)α n (0) = 0, (2)α ′ n(0) = 0, (3)ove per n ≥ 1⎧γ 0n = 2 ∫ π[ ] ⎨ a[ sin(n−β)π+ sin(n+β)π ], β ≠ n,acos(βx) cos(nx)dx = π n−β n+βπ⎩a, β = n.Inoltre per n = 0 si haα ′′0 = γ 00sin 2 (bt), t > 0,α n (0) = 0,α ′ n (0) = 0, 193