Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

520. Formula di rappresentazione eq. del calorePrefissato ε > 0 si scelga x ε tale cheConsideriamo poi che1u(x,t) =2 √ πDtSi ha intanto∫ x ε−∞per ogni (x,t).Inoltre, se M = sup|u 0 |,|u 0 (x)| ≤ ε, x ≥ x ε .u 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt|J 1 (x,t)| ≤ M2 √ πDtdξ∫ ∞1+2 √ u 0 (ξ)e − (x−ξ)24DtπDtx ε∫ ∞ε|J 2 (x,t)| ≤2 √ e −(x−ξ)2 4Dt dξ ≤ ε,πDtx ε∫ x ε−∞e −(x−ξ)2 4Dtdξ = √ M ∫∞πper x → ∞. Si può quindi scegliere y ε ≥ x ε tale cheInfine si ottienex−xε2 √ Dt|J 1 (x,t)| ≤ ε, per x ≥ y ε .dξ =: J 1 (x,t)+J 2 (x,t).e −z2 dz → 0,|u(x,t)| ≤ |J 1 (x,t)|+|J 2 (x,t)| ≤ 2ε, per x ≥ y ε ,che implica la relazione di limite cercata.28. [13/7/2009 (ex)II] Si consideri la soluzione del problemau t −Du xx = 0, −∞ < x < ∞,t > 0,u(x,0) = u 0 (x), −∞ < x < ∞,con u 0 limitata e continua in R, e tale inoltre cheSi dimostri chelim u 0(x) = 0.x→−∞lim u(x,t) = 0, per ogni fissato t > 0.x→−∞146