Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contornoove v 0 e v 1 sono le estensioni pari dei corrispondenti dati per u. Infatti deve essereu x (0,t) = 0. Si ha dunquePerciòv 0 (x) = |x| 3 , v 1 (x) = x 4 , −∞ < x < +∞.u(x,t) = 1 2 [|x+ct|3 +|x−ct| 3 ]+ 1 2cper x > 0, t > 0.∫x+ctx−cts 4 ds= 1 2 [|x+ct|3 +|x−ct| 3 ]+ 110c [(x+ct)5 −(x−ct) 5 ],10. [14/4/2005 (ex)I] Risolvere mediante la formula di D’Alembert il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,0 < t,u(0,t) = 0, 0 < t,u(π,t) = 0, 0 < t,u(x,0) = cos(x 2 ), 0 < x < π,u t (x,0) = sin(x), 0 < x < π.11. [14/4/2005 (ex)II] Risolvere mediante la formula di D’Alembert ilproblemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,0 < t,u x (0,t) = 0, 0 < t,u x (π,t) = 0, 0 < t,u(x,0) = cos(x), 0 < x < π,u t (x,0) = sin(x 2 ), 0 < x < π.12. [15/12/2005 (ex)I] Scrivere mediante la formula di D’Alembert la soluzionediu tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < 1,t > 0,u(x,0) = cosx, 0 < x < 1,u t (x,0) = sin 2 x, 0 < x < 1,u x (0,t) = 0, t > 0,u(1,t) = 0, t > 0.75