Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

620. Fourier equazione del calore dim. 1Si ottengono quindi i problemi di Cauchy per i coefficienti α n :α ′ n +n 2 α n = γ 0n t 2 := t 22 πα n (0) = γ 1n := 2 π∫ πove con calcoli elementari si ottieneγ 0n = 6(−1)nπn0∫ π0(− 3x )sin(nx)dx, 0 < t,π(sin2x−1+ x )sin(nx)dx,π, γ 1n = δ 2n +2 (−1)n −1πnL’integrale generale della e.d.o. sarà dunqueα n (t) = k n e −n2t +w n (t),ove la soluzione particolare w n si cercherà nella formaottenendo per semplice sostituzionew n (t) = C 1n t 2 +C 2n t+C 3n ,+ 4(−1)n+1π 2 nw n (t) = 6(−1)nπn 3 t 2 + 12(−1)n+1πn 5 t+ 12(−1)nπn 7 .Il coefficiente k n si determina ora imponendo la condizione iniziale; si ottieneR.α n (t) =) (γ 1n − 12(−1)nπn 7 e −n2t + 6(−1)nu(x,t) = 1+ x π (t3 −1)+e −4t sin2x+∞∑n=1πn 3 t 2 + 12(−1)n+1πn 5{(2 (−1)n −1)+ 4(−1)n+1πn π 2 + 12(−1)n+1n πn 7 e −n2 t.t+ 12(−1)nπn 7 .}+ 6(−1)nπn 3 t 2 + 12(−1)n+1πn 5 t+ 12(−1)nπn 7 sin(nx).16. [12/7/2007 (ex)I] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu t −u xx = x+t, 0 < x < π,0 < t < ∞,u(0,t) = 0, 0 < t < ∞,u(π,t) = 2, 0 < t < ∞,u(x,0) = sin(πx), 0 < x < π.Soluzione206