Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

530. Formula di rappresentazione eq. di Laplace nel semipianoOccorre ricondursi a un problema posto nel semipiano x > 0, riflettendo in mododispari il dato su x = 0. Il dato esteso sarà:{e y , y < 0,ũ 0 (y) =−e −y , y > 0.Quindi la soluzione del problema esteso saràũ(x,y) = 1 π∫ ∞−∞x(y −ξ) 2 +x 2ũ0(ξ)dξ, x > 0,−∞ < y < ∞.R.u(x,y) = 1 π∫ ∞−∞x(y −ξ) 2 +x 2 sign(ξ)e−|ξ| dξ, x > 0,y < 0.16. [7/4/2006 (ex)II] Risolvere, mediante la formula di rappresentazioneper l’equazione di Laplace nel semipiano,∆u = 0, x > 0,y > 0,u x (0,y) = 0, y > 0,u(x,0) = sin(x+1), x > 0.SoluzioneOccorre ricondursi a un problema posto nel semipiano y > 0, riflettendo in modopari il dato su y = 0. Il dato esteso sarà:{sin(x+1), x > 0,ũ 0 (x) =sin(−x+1), x < 0.Quindi la soluzione del problema esteso saràũ(x,y) = 1 π∫ ∞−∞y(x−ξ) 2 +y 2ũ0(ξ)dξ, y > 0,−∞ < x < ∞.R.u(x,y) = 1 π∫ ∞−∞y(x−ξ) 2 sin(|ξ|+1)dξ, x > 0,y > 0.+y2 17. [20/9/2006 (ex)I] Si consideri l’unica soluzione limitata di∆u = 0, x ∈ R,y > 0,u(x,0) = χ I (x), x ∈ R,152