Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contornoR.u(x,t) = 1 2 [(−1)Int(x−ct) +(−1) Int(x+ct) ]+ 1 2c∫x+ctsin(πs)ds.Qui Intx denota il massimo intero non superiore a x.x−ct8. [1/4/2005 (ex)I] Risolvere con la formula di D’Alembert il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x,0 < t,u(0,t) = 0, 0 < t,u(x,0) = x, 0 < x,u t (x,0) = x 2 , 0 < x.SoluzioneLa soluzione si trova come restrizione a x > 0 della soluzione div tt −c 2 v xx = 0, −∞ < x < +∞,0 < t,v(x,0) = v 0 (x),v t (x,0) = v 1 (x),−∞ < x < +∞,−∞ < x < +∞,ove v 0 e v 1 sono le estensioni dispari dei corrispondenti dati per u. Infatti deveessere u(0,t) = 0. Si ha dunquePerciòv 0 (x) = x, v 1 (x) = x|x|, −∞ < x < +∞.per x > 0, t > 0.u(x,t) = 1 2 [x+ct+x−ct]+ 1 2c∫x+ctx−cts|s|ds = x+ 1 2c∫x+ctx−cts|s|ds,9. [1/4/2005 (ex)II] Risolvere con la formula di D’Alembert il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x,0 < t,u x (0,t) = 0, 0 < t,u(x,0) = x 3 , 0 < x,u t (x,0) = x 4 , 0 < x.SoluzioneLa soluzione si trova come restrizione a x > 0 della soluzione div tt −c 2 v xx = 0, −∞ < x < +∞,0 < t,v(x,0) = v 0 (x),v t (x,0) = v 1 (x),−∞ < x < +∞,−∞ < x < +∞,74